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点亮心灯—追梦书生郑立平教师成长研究室

教育就是点亮心灯,在自己和学生的心灵上都亮起一道道真善美的风景。

 
 
 

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特级教师、齐鲁名师、全国十佳班主任、全国民间班主任成长研究会会长、山东省班主任专业委员会副主任、十大创新班主任、教师培训课程专家、教育部班主任国培专家,已出版著作《把班级还给学生》《教师必须掌握的教育惩戒艺术》《优秀教师成长之道》《用故事说话——教师必备工作素养》《为师之鉴》等14部,应邀在全国各地做教师成长、班主任培训、课堂观摩、教育科研、亲子成长等专题讲座300多场。在线交流,QQ:412903996,团队群组:1群96878873 , 2群121608266.

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在数学教学中学生合情推理能力的培养  

2012-08-01 20:48:33|  分类: 课堂研究 |  标签: |举报 |字号 订阅

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在数学教学中学生合情推理能力的培养

 

                                作者:黄楣端 文章来源:本站原创 点击数:9476 更新时间:2004-9-14 9:25:08

                                内容摘要:在中学数学教学实践中,通过恰当创设情境,引导学生观察;精心设计实验,激发学生思维;仔细设计问题,激发学生猜想;利用类比探讨,加深知识理解;利用数学归纳,巩固特殊到一般思维;利用演绎证题,揭露蕴涵性质等渐进地培养学生的数学思维意识和合情推理能力,能够明显提高学生综合素质,促进学生健康、全面地发展。
                                关键词:合情推理能力   数学   教学
                                在日常生活、学习和工作中,人们经常要对各种各样的事物进行判断,判断事物的对与错、是与非、可能与不可能等。判断是对事物情况进行断定的思维形式。由一个或几个已知判断推出另一未知判断的思维形式,叫做推理。《数学课程标准》指出:“学生通过义务教育阶段的数学学习,经历观察、实验、猜想、证明等数学活动,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。”合情推理是根据已有的知识和经验,在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。
                                长期以来,中学数学教学一直强调教学的严谨性,过分渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理,使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学。事实上,数学发展史中的每一个重要的发现,除演绎推理外,合情推理也起重要作用,如哥德巴赫猜想、费尔马大定理、四色问题等的发现。其它学科的一些重大发现也是科学家通过合情推理、提出猜想、假说和假设,再经过演绎推理或实验得到的。如牛顿通过苹果落地而产生灵感,经过合情推理,提出万有引力的猜想,后来通过库仑的纽秤实验证实。海王星的发现更是合情推理的典范。合情推理与演绎推理是相辅相成的。波利亚等数学教育家认为,演绎推理是确定的,可靠的;合情推理则带有一定的风险性,而在数学中合情推理的应用与演绎推理一样广泛。严格的数学推理以演绎推理为基础,而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的。因此,我们不仅要培养学生演绎推理能力,而且要培养学生合情推理能力。《标准》要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想,并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。”也就是要求学生在获得数学结论时要经历合情推理到演绎推理的过程。合情推理的实质是“发现---猜想”,因而关注合情推理能力的培养有助于发展学生的创新精神。当然,由合情推理得到的猜想常常需要证实,这就要通过演绎推理给出证明或举出反例。合情推理的条件与结论之间是以猜想与联想作为桥梁的,直觉思维是猜想与联想的思维基础。培养学生善于合情推理的思维习惯是形成数学直觉,发展数学思维,获得数学发现的基本素质。因此在数学教学中,既要强调思维的严密性,结果的正确性,也要重视思维的直觉探索性和发现性,即应重视数学合情推理的合理性和必要性。我们每一位教师应当利用课堂教学这一途径,充分发挥课堂教学的作用,渐进而有序地培养数学合情推理能力,提高学生素质,促进学生健康、全面地发展。数学教学中学生合情推理能力的培养,可以通过几何的教学来实现,也可以通过数与代数、概率与统计、实践与综合应用等教学活动来训练。笔者在教学中让学生主动介入,让学生实践,主要从以下几方面入手:
                                24

                                1.
                                恰当创设情境,引导学生观察。合情推理并非盲目的、漫无边际的胡乱猜想。它是以数学中某些已知事实为基础,通过选择恰当的复习结构材料创设情境,引导学生观察。Euler曾说过:“数学这门科学,需要观察,还需要实验。”观察是人们认识客观世界的门户。观察可以调动学生的各种感官,在已有知识的基础上产生联想,通过观察还可以减少猜想的盲目性。同时观察力也是人的一种重要能力。所以在教学中要给学生必要的时间和空间进行观察,培养良好的观察习惯,提高观察力,发展合理推理能力。例如,把20、21、22、23、24、25这六个数分别放在图(1)中的一个圆圈里,使这个三角形每边上的三个数之和相等。通过观察图形以及这六个数后,我们应该想到,较大的几个数或较小的几个数不能同时在三角形的某一边上,否则其和就会太大或太小,也就是说,可以把较小的三个数分别放在三个顶点上,再把三个较大的数放在相应的对边上,如计算353-192-37-8-113,观察后发现192+8=200,37+113=150,因此,运用减法的运算性质、加法交换律和结合律,便可使计算简便迅速:353-192-37-8-113=353-(192+8)-(37+113)=353-200-150=3。图(2)、(3)两例要边观察边思考,如联想、分析、综合等,同时还要有一定的理论知识作指导,如“大数之和”大于“小数之和”、“运算定律”、“运算性质”等。这样教学,才能逐步培养学生能够有条理有根据地进行观察思考,动脑筋想问题,学生才会质疑问难,才能提出自己的独立见解,从而培养学生思维的敏捷性和灵活性。
                                

                                    图(1)               图(2)                    
                                图(3)
                                2.
                                精心设计实验,激发学生思维。Gauss曾提到过,他的许多定理都是靠实验、归纳法发现的,证明只是补充的手段。在数学教学中,正确地恰到好处地应用数学实验,也是当前实施素质教育的需要。著名的数学教育家George
                                Polya曾指出:“数学有两个侧面,一方面是欧几里德式的严谨科学,从这方面看,数学像是一门系统的演绎科学;但是另一方面,在创造过程中的数学更像是一门实验性的归纳科学”,从这一点上讲,数学实验对激发学生的创新思维有着不可低估的作用。
                                数学理论的抽象性,通常都有某种“直观”的想法为背景。作为教师,就应该通过实验,把这种直观的背景显现出来,帮助学生抓住其本质,了解它的变形和发展及与其它问题的联系。数学实验是帮助学生理解和巩固数学知识的一种有效方法。学生在实验时要将课本知识与眼前现实结合起来,将实验中获得的感性认识通过抽象思维得到对概念、定理的深入理解。例如在讲授“等腰三角形的性质”这节课时,课前让每个学生剪好一个等腰三角形纸片。授课时,先让学生量一量两个底角的度数分别是多少?它们相等吗?接着提出:“想一想在没有任何工具的情况下,能不能找出顶角的平分线,怎样找。”(把纸片对折,使两腰重合,再把纸片展平后的折痕就是顶角的平分线)。再问:“对折后两个顶角重合吗?这说明两个顶角有什么关系?”这个实验操作简单,学生感兴趣。学生通过自己动手测量和折纸,从数和形两方面得到了一个直观印象,也形成了数学猜想。接着教师指出实验几何总存在误差,不十分严谨,必须用推理来证明其正确性。这样因势利导,根据折纸的启示,使学生顺利完成等腰三角形性质定律的证明。
                                3.仔细设计问题,激发学生猜想。数学猜想是数学研究中合情的推理,是数学证明的前提。只有对数学问题的猜想,才会激发学生解决问题的兴趣,启迪学生的创造思维,从而发现问题、解决问题。数学猜想是在已有数学知识和数学事实的基础上,对未知量及其规律做出的似真判断,是科学假说在数学的体现,它一旦得到论证便上升为数学理论。牛顿有一句名言:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现。”数学家通过“提出问题——分析问题——做出猜想——检验证明”,开拓新领域,创立新理论。在中学数学教学中,许多命题的发现、性质的得出、思路的形成和方法的创造,都可以通过数学猜想而得到。通过猜想不仅有利于学生牢固地掌握知识,也有利于培养他们的推理能力。

例图(4):A1, A2,…,Ak为线段AB上不同的k个点,则图中不同的线段共有(   )条:


                                └────┴────┴────┴……─┴────┴────┘
                                A        A1        A2        A3      A4       
                                A5        B
                                图(4)
                                A:2k+1        B:2(k+1)       C:(k+1) (k+2)      
                                 D:2(k+2)
                                若取K=1不同的线段有(1+2)条;若取K=2不同的线段有(1+2+3)条;若取K=3不同的线段有(1+2+3+4)条,由此可以猜想出规律:当有K个点时图中不同的线段有[1+2+3
                                + ... + K+ (K+1)]条。故选C.
                                4.利用类比探讨,加深知识理解。类比推理是思维过程中由特殊到特殊的推理,如分式与分数的类比、二次根式的运算与整式运算的类比等都是类比推理,类比推理是合情推理的主要形式之一,类比是对知识进行理线串点的一种手法。对于相互有联系的命题进行类比分析,有利于学生对问题的更深层次的认识,更有利于学生对问题规律的探寻。以问题和条件,题型结构或题设结论为思维起点,应用类比的方法,分析其与已有的认知结构中具有的相似特征,然后猜想其解题方法和解题思维上的类似之处,从而解决问题。例如不等式的性质就是在等式性质基础上类比得到。
                                5.利用数学归纳,巩固特殊到一般思维。归纳推理是思维过程中从特殊到一般的推理,也是合情推理的主要形式之一。勾股定理、门捷列夫元素周期表等的发现都是应用归纳推理的典型例证。有的人对用归纳法证题不太感兴趣。因为对不同问题总是使用那几个固定程序。“不能”因为“数学归纳法”看似单调平凡就忽略它的重要性。正是在学习运用归纳的过程中,学生才不断地体会到“分析”、“假设”、“结论”等多种数学环节。此外,用数学归纳法来证题,也有助于训练学生用数学符号表达自己的数学思想。例:用数学归纳法证明1+2+3+…+n=n(n+1)/2,在讲授该题过程中,让学生先猜出这个和,在运用数学归纳法完成证明后,再鼓励学生尝试其它方法,特别是还采用以下直观方法(图5)。
                                  

                                图(5)
                                6.利用演绎证题,揭露蕴涵性质。演绎推理又称论证推理,是思维过程中从一般到特殊的推理,其前提和结论间具有蕴涵关系,是必然性推理。它的每一步推理都是可靠的、无可置辩的和终决的,因而可以用来肯定数学知识,建立严格的数学体系。数学上的证明都是论证推理。把一般结果应用到特殊中去,能为归纳、类比等得到的猜想加以证实,从而培养学生的推理能力。逻辑推理和合情推理是数学思维的两翼,两者相辅相成,互相补充,缺一不可。从功能上来看,逻辑推理是论证的手段,合情推理是“发现”的工具;从阶段上来看,合情推理是逻辑推理的前奏,逻辑推理是合情推理的升华;逻辑推理能力越强,合情推理就越活跃,推理结果也越可靠,因此也可以说逻辑推理是合情推理的基础。正如数学教育大师玻利亚所说“我们靠论证推理来肯定我们的数学知识,而靠合情推理来为我们的猜想提供依据”。演绎法被广泛用来建立定理命题和证明推论的正确性,先前已证明的结论、事先做出的假设或设定的概念等都可以直接用来推证新的结论。应当指出培养学生的演绎推理能力不仅要注意层次性,而且要关注学生的差异性。要使每一个学生都能体会证明的必要性,从而使学习演绎推理成为学生的自觉要求,克服“为了证明而证明”的盲目性;又要注意推理论证“量”的控制,以及要求的有序、适度。例如,一个四边形存在一个内切圆的充要条件是这个四边形两组对边的和相等。
                                

                                必要性:因a+b=(x+y)+(z+v),b+d=(y+z)+(v+x),所以a+c=b+d(图6)。
                                充分性:假设在a+c=b+d前提下没有任何一圆内切于四边形ABCD,构造一圆与AD、DC、AB三边相切(图7),过C作CE与该圆相切,设AE=x,EC=y,由假设a+c=b+d,另外根据前面必要性证明x+c=y+d,这样就得到a-x=b-y,于是EB=BC-EC或EB+EC=BC,这与EB+EC>BC矛盾。上例需要不同的推理技巧,必要性采用直接证明的方法,充分性运用间接证明方法。这道题为学生发现性学习、提出猜想、实验、证明,提供了一个极好的机会。当然还可以让学生通过直尺或圆规构造符合条件的四边形,也通过使用软件(例如几何画板)让学生动手操作,自己建构这样的四边形。
                                数学教育是进行素质教育的一个重要阵地。自从上世纪90年代以来,国内外广泛开展应用数学、数学大众化、问题解决等教育改革,这就要求教师在培养学生数学应用意识和创造意识及其能力的基础上,进一步关注培养学生的数学思维意识,发展学生的推理能力。虽然学生在中学阶段的主要任务是学习各学科的基础知识,但此阶段也是学生形成思维品质的关键时期。如果在中学阶段忽视学生推理能力的培训,尤其是合情推理能力的培养,那么势必造成学生的推理意识缺乏和推理能力缺陷,对个人发展造成不可估量的损失。因此,教师应面向全体学生、全面发展,更要重视对学生的综合能力的培养,只要我们教师不断改革勇于探索,充分调动学生学习的积极性,结合本学科的特点,培养学生的良好学习品质,就能为实施素质教育打下基础,做出我们的贡献。
                                参考文献:
                                1.  蔡上鹤著《调整优化  推陈出新》。中学数学教学。2000,3。
                                2.  中华人民共和国教育部制定《数学课程标准》,北京师范大学出版社。
                                3.  沈振著《例说数学猜想与创造思维的培养》。上海中学数学。2002,6。
                                4.  柯梅著《自主  合作  探究》。福建中学数学。2003,3。

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